La soledad del número no primo

Uno de los primeros conceptos matemáticos formales (además de los diagramas de Venn, para todos los egeberos ochenteros) que probablemente nos enseñó alguno de nuestros maestros es el de número primo. Seguro que nos costaría concretar el momento en el que nos introdujeron, con mayor o menor esfuerzo, y entre bromas del número hermano, número tito o número cuñao, la definición de primo, aunque es casi más seguro que a ninguno se nos ha olvidado, aunque fuera a fuerza de repeticiones machaconas: un número que admite como divisor (positivo) únicamente a 1 y a sí mismo.

De esta forma, 12 no es primo porque 4 divide a 12, al igual que lo hacen 2 y 3. Ahora bien, 2 y 3 sí son primos, ya que no admiten otros divisores más que a ellos mismos y al número 1.

Existen sólidas razones para suponer que la existencia y ciertas propiedades de los números primos eran ya conocidas por los babilonios y los egipcios, aunque la primera prueba histórica irrefutable de su presencia la encontramos en la Grecia de entorno al año 300 a.C. gracias a Euclides y a sus Elementos.

Después de esta introducción de Matemáticas básicas de Primaria, cabría preguntarnos si esta definición elemental implica algún problema para algún caso particular (en Matemáticas siempre debemos estar muy consternados por los casos particulares, más que nada porque son los que habitualmente pueden dar al traste con resultados posteriores).

En esta ocasión, para empezar, el caso particular que debe preocuparnos es el del 1. Este número cumple con la condición que habíamos mencionado: sólo es divisible por él mismo y por 1, por lo que parece razonable que se encuentre en todo su derecho de reclamar su posición como el primer número primo. Sin embargo, las consecuencias de permitirle alzarse con este título serían catastróficas (matemáticamente hablando, y por ende, para todo el mundo).

Y lo serían porque entonces no habría manera de demostrar el Teorema Fundamental de la Aritmética (y con este nombre está claro que el teorema en cuestión debe de ser importante).

Antes de entrar en detalle con este teorema conviene repasar el concepto de números primos entre sí, o números coprimos, que son aquellos números para los que el único divisor común es 1. De otra forma, si su máximo común divisor es 1.

Tampoco está de más recordar que cuando un número no es primo lo denominábamos compuesto.

Volviendo, ya sí, a donde nos habíamos quedado, el Teorema Fundamental de la Aritmética establece lo siguiente:

Todo número entero positivo mayor que 1 puede escribirse como producto de números primos de manera única, salvo por el orden de los factores.

Este teorema fue enunciado ya por Euclides, aunque tendríamos que esperar hasta finales del siglo XVIII para que Gauss estableciera la primera demostración formal.

La prueba de la existencia (es decir, demostrar que efectivamente todo entero positivo admite esta descomposición) se basa en el Lema de Euclides (si un número divide al producto de otros dos y es coprimo con uno de ellos, entonces necesariamente divide al tercero). La unicidad de esta descomposición podemos probarla por reducción al absurdo, y sin entrar en detalles, basta decir que en un momento dado necesitamos acudir al hecho de que en la descomposición en primos que hacemos (y que podemos usar porque ya la hemos demostrado), ninguno de estos factores es 1. Pero la única justificación que podemos encontrar en dicho momento para lanzar tal aseveración es que nos hayamos asegurado previamente de impedir al 1 ser primo.

Una forma mucho más intuitiva (y menos formal) de entender este razonamiento, es que si admitimos que 1 es primo, entonces, para cualquier número que podamos pensar, por ejemplo, y sin perder generalidad, el 12 con el que comenzábamos esta entrada, tendríamos esta descomposición en factores primos:

12 = 2 · 2 · 3

y esta otra:

12 = 1 · 2 · 2 · 3.

Es decir, que nos acabamos de cepillar la unicidad de la descomposición, al encontrar dos formas distintas de escribir un número como producto de primos.

Resulta inmediato trasladar este hecho a cualquier número entero positivo. Es más, no solo la descomposición no sería única, sino que estas serían infinitas, ya que

12 = 2 · 2 · 3

12 = 1 · 2 · 2 · 3

12 = 1 · 1 · 2 · 2 · 3

12 = 1 · 1 · 1 · 2 · 2 · 3

…y así hasta el infinito (y más allá).

Así pues, como tal despropósito no puede ser consentido, en la comunidad matemática la definición de número primo es como sigue:

Se dice que un entero p>1 es primo si los únicos divisores positivos que admite son 1 y p.

Como consecuencia:

Se define un entero positivo p>1 como compuesto si no es primo, esto es, si admite al menos un divisor distinto de 1 y de p.

Esto implica por otra parte un desagravio adicional para 1 (y para 0, de quien nos estamos olvidando y que también tiene bastante que decir), ya que asumida su exclusión como primo, no puede ser admitido tampoco en el club de los compuestos.


 

Existen además otros motivos para denegarle a 1 su título como primo en las matemáticas modernas, relacionados con la generalización del concepto de primo en los anillos algebraicos. En el caso del anillo de los enteros, por su simplicidad y su uso cotidiano, la actuación de 1 como unidad queda quizás a veces confundida con su rol como elemento identidad del anillo. Es la importancia de las identidades algebraicas la que nos debe hacer ser particularmente cautos en este sentido. Es más, debemos impedir también que el elemento neutro para la suma sea un número primo (ahora es cuando 0 arquea una ceja). En el caso nuevamente del anillo de los enteros, y dado que es posible establecer un orden en el mismo (en otra ocasión hablaremos de los órdenes algebraicos), basta con exigir que p sea mayor que 1 porque eso implica que no pueda ser cero, pero en un caso general, en el que no tengamos garantías de la existencia de orden, debemos impedir que el elemento neutro del grupo conmutativo sea primo.

Así pues:

Dado un anillo (A, +, ·), y dado un elemento p∊A, siendo p distinto del elemento neutro en el grupo (A, +) y distinto de la unidad del producto, diremos que p es primo si no puede ser descompuesto en factores de la forma p = a·b, siendo a,b∊A y distintos del elemento identidad del producto.

En cualquier caso, tampoco debemos sentirnos particularmente apenados por 1, ya que por lo que hemos visto forma parte del club de las identidades algebraicas, una organización tan selecta y particular como pueda serla la de los primos (y hasta más reducida). Pero en definitiva, y por si alguien está interesado en un tema de conversación diferente para una cena con escasos motivos de cotilleos, y por mucho que nos duela, debemos dejar a nuestro querido 1 en su soledad de número no primo.

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